数学の効用 (4)
――抽象化・一般化で「数学の世界」に入る――
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前回は、0 = 100 − 20 − 2 x – 50という等式について考えましたが、もう少しこの式について考えてみましょう。
買い物の問題について、新しい「発見」があったとしましょう。これまでは今手元に残っているのは20円ということになっていたのですが、ポケットを見たらもう10円入ってました。ぼやっとしていて、10円は別のポケットに入れてしまったのかもしれません。となると、買い物袋の中に入れたかもしれない…ということで、物忘れが激しくなってきているので、実際手元に残っているお金が怪しくなってきました。
みかんの値段も大切ですが、今いくら持っているかの方が大事です。まずはそれを確定しなくてはなりません。みかんはもう買ってしまったので、それがいくらだったのかよりは、今いくらお金が手元にあるのかということの方が大事です。
と言うことで、記憶力減退のせいで不確かになってしまった「20」の代りにyと書いておきましょう。お店に行って、みかんの値段、つまりxを教えて貰えば、yつまり手元に残っているはずの金額が分るという関係もこの式は示しています。
0 = 100 – y – 2x – 50 になります。
恐らく皆さんも慣れているであろう形に変えると、両辺にyを足して、
y = 100 – 2x – 50 です。
数字の計算もしてしまうと、y = 50 – 2x になります。あるいは
y = -2x + 50 です。
これでリンゴとみかんの場合、そして私の買い物の実態は表せています。でも、もう一歩先のことを考えられるのが、抽象化した結果の良い所です。
これをりんごとみかんという特定の場合だけではなく、「一般化」することができるのです。その一般化した式に具体的な情報を当てはめると、例えば、リンゴの値段は40円とか、みかんの個数は2個といった場合だけではなく、果物もバナナと梨、そして梨は3個買ったというようななケースも取り扱えることになるのが味噌です。
そのために、具体的数字の代りにそれらを記号化して表してみましょう。
y = ax + b
になります。
これは、買い物の時に起きた疑問を、数学という世界の言葉で表現することによって、実は数学の世界に私たちは入っていたということなのです。
ここまでは、私たちが頭の中で考えていることを言葉以外の形で表現するすることが可能だということの説明です。それは数学なのですが、言葉の他の表現手段があるという点を強調したかったのです。
その表現手段に焦点を当てて考えると、それが言葉の一つの表現手段という位置付け誰ではなく、それ自体が一つの「世界」に属している存在でもあることに気付きます。それが「数学の世界」です。
y = ax + bは、抽象的な表現ですので、その背後にある買い物という現実とは切り離して取り扱うことができます。この方程式が属する「数学の世界」という枠組みの中の一員として取り扱ってみるということです。
そしてその数学の世界の中の景色とか、道とか規則とか、いろいろなものを考えながら見回してみると、数字とか数式だけではなくて、目に見える平面の中の直線という形でこの方程式を表すことが可能だということも分ってきます。
例えば、x軸とy軸いう座標軸を紙の上に書いて、y =ax+ bという方程式をその中の直線として表現することが可能なのです。
買い物についての思考が、平面上の直線として表されるなどということは、普通考えもしないことですが、数学の世界に移ったことで、このように世界が広がることを示したかったのです。
実はこれは数学に限ったことではありません。例えば、絵画を考えてみてください。絵画とは色と形で成り立っているというふうに単純化してしまって考えましょう。
美しい花を見て、その色と形を文章として表現する事は可能です。しかし、実際に絵の具を使って目に見える形で、キャンバスにその花を描くこと、絵として描くことも可能です。それは文章の世界とは違う絵画の世界での表現をしている、数の場合だと、ここで説明してきたように言葉で表現をするのではなくて、数式で表現をすることに相当するのだと考えられないでしょうか。
そして絵画の世界に入ると、その中で現実の世界とは違う様々な操作とか一般化とか抽象化というようなことが可能になります。それは絵画の世界の中での出来事なのですが、私たちの日常とはそれほど密接には関わってはいなくても、私たちの生活を豊かにしてくれています。
俳句についても同じようなことが考えられますが、長くなりますので、それは皆さんにお任せしたいと思います。
皆様にとって、きょう一日が素晴らしい24時間になりますよう!
[2025/10/11 人間イライザ]
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